【微積分公式】微積分是數學中的一個重要分支，廣泛應用于物理、工程、經濟學等領域。它主要研究函數的變化率和累積過程，包括微分學與積分學兩大內容。掌握常見的微積分公式對于理解和應用微積分具有重要意義。
以下是部分常用的微積分公式總結：
一、基本微分公式
| 函數 | 導數 |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
二、基本積分公式
| 函數 | 不定積分 | ||
| $ f(x) = x^n $ | $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int \sin x dx = -\cos x + C $ | ||
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int \cos x dx = \sin x + C $ | ||
| $ f(x) = e^x $ | $ \int e^x dx = e^x + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $ |
三、常用積分技巧
| 方法 | 公式示例 |
| 換元法 | $ \int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du $ |
| 分部積分法 | $ \int u dv = uv - \int v du $ |
| 部分分式分解 | 用于有理函數積分，如 $ \int \frac{Ax+B}{(x-a)(x-b)} dx $ |
| 三角代換 | 如 $ x = a \sin \theta $ 用于處理 $ \sqrt{a^2 - x^2} $ 的積分 |
四、定積分的性質
1. 線性性：
$ \int_a^b [f(x) + g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx $
2. 區間可加性：
$ \int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx $
3. 對稱性：
若 $ f(-x) = f(x) $，則 $ \int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx $
若 $ f(-x) = -f(x) $，則 $ \int_{-a}^{a} f(x) dx = 0 $
五、微積分基本定理
微積分基本定理是連接微分與積分的橋梁，其核心思想是：
> 如果 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一個原函數，那么：
> $$
> \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
> $$
通過掌握這些基礎公式和方法，可以更高效地解決實際問題，并為后續學習高等數學打下堅實基礎。在實踐中，建議多做練習題，逐步加深對公式的理解與應用能力。