【常用求導公式】在微積分的學習與應用中，求導是一個非常基礎且重要的內容。掌握常用的求導公式，不僅有助于提高解題效率，還能加深對函數變化規律的理解。以下是對常見函數的求導法則進行總結，并以表格形式呈現，便于查閱和記憶。
一、基本求導法則
1. 常數函數的導數
若 $ f(x) = C $（C為常數），則
$$
f'(x) = 0
$$
2. 冪函數的導數
若 $ f(x) = x^n $（n為實數），則
$$
f'(x) = nx^{n-1}
$$
3. 指數函數的導數
若 $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1），則
$$
f'(x) = a^x \ln a
$$
特別地，若 $ f(x) = e^x $，則
$$
f'(x) = e^x
$$
4. 對數函數的導數
若 $ f(x) = \log_a x $，則
$$
f'(x) = \frac{1}{x \ln a}
$$
特別地，若 $ f(x) = \ln x $，則
$$
f'(x) = \frac{1}{x}
$$
5. 三角函數的導數
- $ \sin x $ 的導數是 $ \cos x $
- $ \cos x $ 的導數是 $ -\sin x $
- $ \tan x $ 的導數是 $ \sec^2 x $
- $ \cot x $ 的導數是 $ -\csc^2 x $
- $ \sec x $ 的導數是 $ \sec x \tan x $
- $ \csc x $ 的導數是 $ -\csc x \cot x $
6. 反三角函數的導數
- $ \arcsin x $ 的導數是 $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \arccos x $ 的導數是 $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \arctan x $ 的導數是 $ \frac{1}{1 + x^2} $
7. 導數的四則運算法則
- 和差法則：$ (f ± g)' = f' ± g' $
- 積法則：$ (fg)' = f'g + fg' $
- 商法則：$ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $
- 鏈式法則：若 $ y = f(u) $，$ u = g(x) $，則
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
二、常用函數的導數表
| 函數表達式 | 導數 |
| $ f(x) = C $ | $ 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
三、小結
掌握這些常用求導公式是學習微積分的基礎，尤其在處理復雜函數時，靈活運用導數的運算法則和基本公式，可以大大簡化計算過程。建議通過反復練習來鞏固這些知識，同時注意理解每種函數的變化趨勢和幾何意義，有助于提升數學思維能力。